Станом на сьогодні у нас: 141825 рефератів та курсових робіт
Правила Тор 100 Придбати абонемент Технічна підтримка
Скористайтеся пошуком, наприклад Реферат        Грубий пошук Точний пошук
Вхід в абонемент



ВИЗНАЧЕННЯ ТАРИФІВ ЗА ДОГОВОРАМИ ЗАГАЛЬНОГО СТРАХУВАННЯ

Класичний підхід до визначення тарифів. Під договорами за-гального страхування розумітимемо договори страхування, які не є договорами страхування життя. Договори загального страхування характеризуються відносно коротким терміном дії договору — від кількох днів до одного року. Ця особливість визначає характерні особливості розрахунку страхових тарифів за такими договорами:

обчислюється розмір лише разової страхової премії;

не враховується можливий інвестиційний прибуток від роз-міщення тимчасово вільних коштів страхових резервів із цих ви-дів страхування.

При розрахунку нетто-премії за договорами загального стра-хування вважають, що розмір N разової нетто-премії виражає ек-вівалентність зобов'язань страховика та страхувальників І пропо-рційна до страхової суми S:

N=T·S,

де коефіцієнт пропорційності Т називають нетто-тарифом, або нетто-ставкою.

Брутто-премія B, або просто страхова премія, пропорційна нетто-премії N:

B=бN

де коефіцієнт пропорційності б (б > 1) містить частку f наванта-ження (адміністративні витрати, комісійні, плановий прибуток страховика) і визначається співвідношенням

Для визначення структури нетто-тарифу за договором загаль-ного страхування розглянемо гіпотетичний випадок, коли відома вся необхідна для розрахунків інформація.

Приклад. Припустимо, що при проведенні страхування ви-значеного ризику (наприклад, майнове страхування будівель від стихійного лиха) протягом фіксованого проміжку часу Дt (напри-клад, одного року) страховиком заплановано:*

проведення страхування за п (п = 1, 2, ...) договорами зі страховими сумами S1, S2, S3, ……. Sп відповідно;*

настання за цими договорами т страхових випадків зі стра-ховими виплатами .

Визначимо розмір нетто-тарифу при страхуванні ризику, який відповідав би взятим зобов'язанням страховика з названих видів страхування.

У розглянутому випадку нетто-тариф можемо визначити на підставі загального принципу еквівалентності зобов'язань стра-ховика та страхувальників Зобов'язання страховика дорівнюють сумі страхових відшкодувань

а зобов'язання страхувальників — сумі внесених нетто-премій

де T0 — нетто-тариф, який потрібно визначити. Значення Т0 в да-ному прикладі можемо знайти з рівняння балансу зобов'язань страховика та страхувальників:

або

У цьому балансовому співвідношенні зручно виконати усеред-нення за договорами страхування, поділивши обидві частини останнього на тп:

а далі, ввівши значення — середньої страхової виплати та значення — середньої страхової суми на один договір

перейти до співвідношення ,

звідки знаходимо шукане значення нетто-тарифу

Останню рівність записують, як правило, у вигляді

Т0=Кзбw,

тобто виражають нетто-тариф при страхуванні визначеного ризику через два основні параметри:*

коефіцієнт збитковості за даним страховим ризиком *

відносну частоту настання страхової події за даним страхо-вим ризиком

Наведені співвідношення вирішують поставлене завдання і дають змогу розраховувати нетто-тариф при страхуванні визначе-ного ризику лише у апостеріорному (післядослідному) випадку, коли відома вся необхідна інформація, а саме — відомі значення параметрів п, т, або Кзб, w. На практиці при апріорному (до початку досліду) визначенні тарифів жодний із цих парамет-рів не відомий і всі вони є випадковими додатними величинами. Але наведений приклад та отримані співвідношення мають важ-ливе значення для перевірки і коригування за результатами стра-хової діяльності правильності апріорного визначення тарифів. Саме ці співвідношення вказують на необхідність у діяльності кожної страхової компанії постійного спостереження та аналізу значень параметрів Кзб, w за прийнятим на страхування ризиком і дають змогу періодично коригувати наперед визначені для такого ризику тарифні ставки.

При апріорному визначенні нетто-тарифу у загальному випад-ку розглянутої моделі страхових відшкодувань у співвідношенні Т0 = Кзбw потрібно розв'язати суперечність, яка полягає в тому, що ліва частина (нетто-тариф) має бути наперед визначеною фік-сованою величиною, а права частина є випадкова величина, зна-чення якої можуть істотно змінюватися в різні періоди діяльності страховика.

Для розв'язання цієї суперечності широке застосування набув метод, який грунтується на тому, що замість випадкової величи-ни достатньо взяти її найбільше можливе із заданою довірчою ймовірністю значення.

Такий підхід визначає структуру нетто-тарифу за договором загального страхування:

T=T0+Tp

де T0= М [Кзбw] — основна частина нетто-тарифу (математичне сподівання величини збитків з одиниці страхової суми в разі ве-ликої кількості договорів страхування за визначеним ризиком);

Тр = Т0 ~ ризикова (страхова) надбавка до основної частини нетто-тарифу, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення - відносної величини виплат і об-числюється за формулою:

де п — кількість договорів страхування за визначеним ризиком, що планується;

р — імовірність настання страхової події за визначеним ризиком.

За законом великих чисел при великих значеннях п випадкова величина w прямує з імовірністю одиниця до значення р теорети-чної імовірності настання страхової події за визначеним ризиком i р=M[w].

Отже, нетто-тариф при страхуванні виділеного ризику розра-ховується із заданою довірчою ймовірністю г за формулою

де tг— квантиль рівня у нормального розподілу;

п — кількість договорів страхування за визначеним ризиком, що планується;

р — ймовірність настання страхової події за визначеним ризиком;

M[Кзб] — математичне сподівання збитковості.

Математичне сподівання величини Кзб для визначеного ризи-ку практично не змінюється і може бути визначено так:

0,3 — при страхуванні від нещасних випадків та хвороби;

0,4 — при страхуванні засобів наземного транспорту;

0,5 — при страхуванні вантажів та майна (крім засобів транс-порту);

0,6 — при страхуванні засобів повітряного та водного транс-порту;

0,7 — при страхуванні відповідальності власників автотран-спортних засобів та інших видів відповідальності, а також при страхуванні фінансових ризиків.

Для обчислення нетто-премії за договором страхування ви-значеного ризику слід нетто-тариф помножити на страхову суму: N=ST.

Зауважимо, що величина нетто-тарифу істотно залежить:

від запланованої кількості договорів страхування за визна-ченим ризиком і зменшується з їх зростанням до математичного сподівання величини збитків з одиниці страхової суми;

від значення довірчої ймовірності шуканого тарифу і зростає з наближенням цього значення до одиниці;

від точності вибору значення коефіцієнта збитковості.

Страхові тарифи в індивідуальній моделі ризику. Наведені формули у явному вигляді виражають класичний підхід розра-хунку нетто-тарифу для страхового ризику за наявності міні-мальної інформації про можливі майбутні страхові виплати. Як-що відомі додаткові статистичні дані про процес настання страхової події, можливе застосування більш точних методів об-числення страхових тарифів.

Для розв'язання відповідних задач вводять різні статистичні моделі страхових ризиків і розглядають відповідні моделі розпо-ділу сумарного розміру страхового відшкодування. Найпрості-шою з них є модель індивідуальних ризиків, яка щодо договорів загального страхування передбачає таке:*

кількість п незалежних між собою договорів страхування фіксована та наперед визначена;*

для кожного договору страхування відомі статистичні влас-тивості пов'язаного з ним можливого відшкодування Хk де k — порядковий номер договору.

Зауважимо, що далеко не за кожним договором виплачується страхове відшкодування, тому деякі випадкові величини Хk. (страхо-вих відшкодувань за k-м договором) можуть дорівнювати нулю.

Загальний розмір страхового відшкодування за страховою по-дією, тобто розмір зобов'язань страховика, визначає сума неза-лежних між собою випадкових величин

Sn=X1+X2+…+Xn

У загальному випадку при використанні моделі індивідуаль-ного ризику величина Вk страхової премії за k-м договором стра-хування (k = 1, 2, ..., п) розраховується з умови достатності із за-даною довірчою ймовірністю отриманих страхових премій для виконання зобов'язань страховика за формулою

де М[Хk] — математичне сподівання відшкодувань за k-м догово-ром страхування; —

відносна страхова надбавка.

Основний внесок до величини Bk у загальному випадку вно-сить значення суми M[Xk], яку називають основною частиною нетто-премії. Додаткову суму M[Xk] називають ризиковою (страховою) надбавкою до основної частини, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення відносної частоти настання страхової події.

На практиці використовують кілька способів розрахунку від-носної страхової надбавки при страхуванні визначеного ризику:

з фіксованим значенням для всіх договорів страхування

де tг — квантиль рівня г нормального розподілу;

М[Sn] — математичне сподівання сумарного розміру страхо-вих відшкодувань;

D[Sп] — дисперсія сумарного розміру страхових відшкоду-вань;

2) зі змінним значенням, пропорційним дисперсії або серед-ньоквадратичному відхиленню величини страхового відшкоду-вання Хk за k-м договором, тобто у вигляді

Зауважимо, що у наведених співвідношеннях числові характе-ристики випадкових величин Xk, страхового відшкодування за k-м договором визначаються залежно від наявної статистичної ін-формації про процес настання страхової події.

У разі, коли відомі числові характеристики сумарного розміру Sn страхових відшкодувань за страховим ризиком на підставі центральної граничної теореми, можна обчислити ймовірність достатності наявних страхових резервів розміру г для виконання зобов'язань страховика за цим ризиком:

або ймовірності розорення (недостатності наявних страхових

резервів):

де F0(х) — інтегральна функція нормованого нормального розпо-ділу.

Страхові тарифи в колективній моделі ризику. Складнішу модель розподілу сумарного розміру страхового відшкодування за визначеним ризиком виражає колективна модель ризику, яка розглядає не окремі договори страхування, а весь портфель дого-ворів за даним страховим ризиком і передбачає таке:

кількість v вимог про страхове відшкодування за даним ри-зиком на фіксованому проміжку часу є випадкова величина (як правило, з пуассонівським розподілом);

значення послідовних страхових відшкодувань Y1,Y2,…Yv за портфелем страхового ризику за цей проміжок часу утворю-ють послідовність випадкових величин, що однаково розподілені;

випадкові величини v, Y1,Y2,…Yv незалежні в сукупності.

Колективна модель враховує можливість неодноразового на-стання страхової події за одним договором страхування (що дуже важливо в договорах загального страхування), не обмежена умо-вою визначеності кількості майбутніх договорів страхування та розглядає завжди додатні значення відшкодувань Yk, k = 1, 2, ..., v (на відміну від індивідуальної моделі, де значення відшкоду-вань Хk могли бути нульовими). Сумарний розмір S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі визна-чає випадкова сума незалежних між собою випадкових величин

За заданими числовими характеристиками кількості v вимог про страхове відшкодування та величиною Y одного страхового відшкодування в загальному випадку можемо знайти числові ха-рактеристики сумарного розміру S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі

Найпростішу і найпоширенішу модель розподілу кількості стра-хових вимог v визначає розподіл Пуассона з параметром л, коли

причому

У цьому випадку розподіл випадкової величини S називають складним розподілом Пуассона, а її числові характеристики ви-значають за формулами

Зауважимо, що параметр л розподілу Пуассона випадкової ве-личини v та інтегральну функцію F(t) = Р{Y<t} розподілу зна-чень випадкової величини У одного страхового відшкодування називають параметрами складного розподілу Пуассона, що запи-сують у вигляді S ~ СР(л; F). Крім того, у наведених співвідно-шеннях параметр л визначає середню за портфелем кількість страхових вимог (вимог про виплату страхового відшкодування) за одиницю часу (наприклад, за один рік).

У страховій практиці дуже важливий той факт, що сума неза-лежних випадкових величин, кожна з яких має складний розподіл Пуассона, також має складний розподіл Пуассона. Виконується твердження:

Якщо S1, S2, ... — взаємно незалежні випадкові величини, ко-жна з яких розподілена за складним розподілом Пуассона

Sk~ СР(лk ;Fk), k = 1, 2, ..., та ряд — збіжний, то сума S =

= S1 + S2+ … також має складний розподіл Пуассона S ~ СР(л ;F), параметри якого визначають співвідношення

;

Наведене твердження на практиці використовують у таких ви-падках:

при об'єднанні т незалежних страхових портфелів, таких що сумарний розмір страхових відшкодувань Sk, k = 1, 2, ..., т по кожному з них має складний розподіл Пуассона Sk~ СР(лk ;Fk) у результаті отримують об'єднаний портфель, сумарний розмір страхових відшкодувань S якого також буде визначати складний розподіл Пуассона ;

при дослідженні сумарного за т років страхового відшкоду-вання S за одним і тим самим страховим ризиком з незалежними річними сумарними страховими відшкодуваннями Sk, k = 1, 2, ..., m кожне з яких має складний розподіл Пуассона, можемо вважа-ти, що S також має складний розподіл Пуассона.

У загальному випадку при використанні моделі колективного ризику величина В страхової премії для всіх договорів страху-вання однакова й визначається з умови достатності із заданою довірчою ймовірністю отриманих страхових премій для виконан-ня зобов'язань страховика за формулою

M[Y] де — математичне сподівання виплати одного страхового відшкодування;

л1 — середня на один договір кількість страхових вимог за одиницю часу;

— відносна страхова надбавка.

Основний внесок до величини В у загальному випадку вносить значення суми л1M[Y], яку називають основною частиною нетто-премії. Додаткову суму л1М[Y] називають ризиковою (страхо-вою) надбавкою до основної частини, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення відносної час-тоти настання страхової події.

Відносна страхова надбавка при страхуванні визначеного ризи-ку має фіксоване для всіх договорів значення І розраховується за формулою

де tг— квантиль рівня у нормального розподілу;

М[S] — математичне сподівання сумарного розміру страхових відшкодувань;

D[S] — дисперсія сумарного розміру страхових відшкодувань.

Математичне сподівання М[Y] одного страхового відшкоду-вання визначається залежно від наявної статистичної інформації про процес настання страхової події.

Середня на один договір кількість л1 страхових вимог за оди-ницю часу (у загальному випадку — за один рік) розраховується на підставі середньої за портфелем кількості л страхових вимог за одиницю часу (також — один рік):

Де п — визначає кількість договорів страхового портфеля, для якого було знайдено оцінку параметра л.

ТЕСТ 18. Визначення страхових тарифів

1. Таблиця містить дані страхових відшкодувань за останній рік зі страхування автомобілів (каско)

Номер | Сума відшкодування

1

2

3

4 | 110

89

98

101

Знайти емпіричне середнє та незсунену емпіричну дисперсію стра-хових відшкодувань.

а). 99,5, 75;

б). 75, 99,5;

в). 98,3, 9,5.

2. Ставка інвестиційного доходу І дорівнює 50 % Знайти дискон-туючий множник та інтенсивність ставки інвестиційного доходу

а). 0,563, 0,740;

б). 0,723, 0,566;

в). 0,667, 0,405.

3. Нетто-премія становить 123 грн, навантаження до нетто-премії дорівнює 35 % Обчислити брутто-премію

а). В=135,11;

б). В=189,23;

в). В=123,00.

4. За даними задачі № 1 класичним методом обчислити нетто-тариф, коли відомо, що страховий портфель становив 50 договорів Довірча ймовірність (імовірність нерозорення) — 98 %.

а). N = 12,58 %;

б). N = 10,5 %;

в). N = 6,88 %.

5. За даними задачі № 4 в індивідуальній моделі ризику обчислити нетто-тариф, коли відомо, що страхова сума за кожним з договорів становила 150

а). N = 12.58 %;

б). N = 10.5 %;

в). N = 6.88 %.